Міністерство освіти та науки України
Дрогобицький державний педагогічний університет
Лабораторна робота №2
На тему „Обчислення визначеного інтегралу методом парабол ”
Виконав:
ст. групи ІнП-1
Мета: Навчитись обчислювати визначений інтеграл методом парабол.
Завдання: Скласти блок-схему і написати програму для обчислення значення функції f(x) = (x-11)2 – 30 на проміжку [a,b] при а=1, b=5 і n=200.
Теоретичні відомості
Для застосування цього методу, з’єднаємо вершини кожних трьох ординат дугами квадратичних парабол, осі яких паралельні осі у (мал.1).
y A y=f(x)
B
y0 y1 y2 y3 yn-1 yn
h h
0 x0=a x1 x2 x3 xn-1 xn=b
b-a
Мал.1.
Таким чином замість двох елементарних прямолінійних трапецій будемо розглядати одну елементарну трапецію, обмежену параболічною дугою. Площі цих трапецій позначимо S12; S34; S56;…;Sn-1,n.
Розглянемо першу з них. Для спрощення обрахунків перенесемо вісь ординат паралельно сама собі так, щоб вона йшла уздовж ординати y0 (мал. 2). Звісно, що від цього величина площі S12 не зміниться.
y
y0 y1 y2
h h
x0 x1 x2 x
Мал.2
Рівнянням квадратичної параболи, вісь якої паралельна осі у є:
y= А0 +А1х+А2х2 (1).
Парабола (1) буде проходити через точки підінтегральної кривої (x0;y0), (x1;y1), (x2;y2), якщо ми коефіцієнти А0, А1, А2 підберемо так, щоб координати розглядаючи точок задовольняли рівняння (1).
Так як х0=0, х1=h, x2=2h, то, підставивши ці значення в рівняння (1), отримаємо систему рівнянь:
y0 = A0,
y1=A0+A1h+A2h2,
y1=A0+A1h+A2h2,
розв’язавши яку, отримаємо
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Площа S1 згідно формулі EMBED Equation.3 визначається:
EMBED Equation.3
Підставивши знайдені значення А0 ,А1, А2 і звівши подібні члени, отримаємо:
EMBED Equation.3
Аналогічно
EMBED Equation.3
………………………….
EMBED Equation.3
Отже випливає,
EMBED Equation.3
Звідси знаходимо формулу парабол, яку ще називають також формулою Сімпсона:
EMBED Equation.3
або в більш зручному вигляді:
EMBED Equation.3
де ci =1, 4, 2, 4, 2,…,2, 4, 1; EMBED Equation.3 .
Відмітимо, що коли у формулі трапецій число n є завжди випадкове, то у формулі парабол воно повинно бути завжди парним: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
